시계열 분석3. 자기상관(autocorrelation)이란?

안녕하십니까, 데분콘입니다.
이번 글은 자기상관(autocorrelation)에 대해 살펴보겠습니다.
본 내용을 더 잘 이해하시려면 시계열 분석 2. 정상성(stationarity)이란?을 읽고 와주세요.

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1. 자기공분산 함수(Autocovariance function)의 정의

저번 포스팅에서 약정상성의 조건 중 3번째 조건에 따르면 $ \mathrm{Cov}(X_t,X_{t+h}) $는 시간 간격 h에만 의존해야 한다고 했습니다. 자기공분산 함수는 다음과 같이 h에 관한 함수로 나타낼 수 있습니다.

$$ \mathrm{Cov}(X_t,X_{t+h})=\gamma(h) $$

$\gamma(h)$를 lag h인 자기공분산 함수라고 부릅니다. 이 함수는 $X_t$와 $X_{t+h}$가 선형적 관계가 있는지 보게 됩니다.

 

자기공분산 함수의 특징을 살펴보겠습니다.

1) $ \vert \gamma(h) \vert \leq \gamma(0) $

2) $ \gamma(h)=\gamma(-h) $

 

pf 1) $\gamma(0)$는 자기 자신에 대한 선형 관계이므로 어떤 관계도 이 값보단 클 수 없습니다.

pf 2) $\mathrm{Cov}(X_t,X_{t+h})=\mathrm{Cov}(X_{t+h},X_t)$이므로 $ \gamma(h)=\gamma(-h) $입니다.

 

2. 자기상관 함수(Autocorrelation function)의 정의

자기공분산과 자기상관의 차이점은 각각의 값이 확률변수의 scale에 영향을 받는지 여부입니다. 시계열 데이터를 분석하는데 scale에 영향을 받지 않으면 분석이 편리합니다. 따라서 분석 시에 scale에 영향을 받지 않기 위해 자기공분산을 자기상관으로 변환하는 작업을 하게 됩니다.

 

시계열 확률 변수 $X_t$가 stationary 하다고 가정하면, $ \mathrm{Var}(X_t)=\mathrm{Var}(X_{t+h})$이므로
자기상관 함수는 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

$$ \begin{align*}
\mathrm{Cor}(X_t,X_{t+h})=\cfrac{\mathrm{Cov}(X_t,X_{t+h})}{ \sqrt{ \mathrm{Var}(X_t)} \sqrt{ \mathrm{Var}(X_{t+h})} }&=\cfrac{\gamma_X(h)}{ \sqrt{ \gamma_X(0)} \sqrt{ \gamma_X(0)} } \\
&= \cfrac{\gamma_X(h)}{\gamma_X(0)} \\
&= \rho_X(h), \,  -1 \leq \rho_X(h) \leq 1.
\end{align*} $$

$ \rho_X(h) $를 lag h인 자기상관 함수라고 부르겠습니다.

coin and sprout

 

3. 자기상관 함수의 해석

자기상관 함수의 값은 -1에서 1의 범위 사이에서 나타납니다. 0에 가까울수록 선형적 관계가 없습니다. -1에 가까울수록 음의 상관관계, 1에 가까울수록 양의 상관관계가 강하게 나타나게 됩니다.

회귀분석을 할 때, 한 데이터가 다른 데이터를 얼마나 설명할 수 있는지를 나타내는 지표($R^2$)가 있습니다. 이 지표는 설명력이라고 부릅니다.
설명력과 비슷한 지표가 있습니다. 바로 상관관계의 제곱인 값이죠.
상관관계의 제곱을 이용하여 두 데이터의 관계를 해석해보겠습니다. 예를 들어, $X_t$와 $X_{t+h}$의 자기상관 값이 0.6, 즉, $\rho_X(h)=0.6 $인 경우를 살펴보겠습니다.
상관관계의 제곱은 $0.6^2=0.36$입니다. $X_t$로 $X_{t+h}$의 36%만큼 설명이 가능하다고 할 수 있습니다. 

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다음 포스팅에서는 선형 모형 중 하나인 이동 평균 모형(moving average model)에 대해 살펴보겠습니다.

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감사합니다.